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X_n+1=(1+r)X_n　　　　　　(5)

其中X_n是第n代的人口，X_n+1是第n+1代的人口.式(5)可以改写为

由此可以看出，r就是人口增长率.因此，若以X₀作为起始(第零代)人口数，则

第一代人口数　　　　　　　　　　　　　X₁=(1+r)X₀
第二代人口数　　　　　　　　　　　　　X₂=(1+r)X₁=(1+r)²X₀
第n代人口数　　　　　　　　　　　　　 X_n=(1+r)ⁿX₀

这就是说，人口数按几何级数增长.如上计算过程就是迭代.
　　实际上，这一模型过于简化，没有考虑到环境条件的限制因素，以致只要r＞0，计算出的人口增长便快得惊人，并不符合实际情况.1838年，维赫斯特(Verhulst,早于达尔文)提出了一个修正模型，在式(5)右方加入一个修正项，成为

X_n+1=(1+r)X_n-bX²_n(6)

所加入的-bX²_n是反映环境限制因素的非线性项，系数b的数值非常之小，当人口较少时，此项可以忽略，就还原成模型式(5)，而人口数变大后，它将限制人口增长.
　　为以下分析的方便，引入新变量x_n=，再令1+r=μ，即得：

x_n+1=μx_n(1-x_n)　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

这也是一个迭代方程，是由一位比利时数学家建立的.x_n与μ的取值应受到限制：
　　因为人口数不可为负，故0＜x_n＜1；
　　又，x_n+1的极大值出现在x_n=处，此时相应的x_n+1=，而x_n+1＜1，所以μ＜4，另外，如人口增长率r为正，那么μ＞1，合之，则有1＜μ＜4，这就是人们感兴趣的参数μ的取值范围.这一迭代关系常被称做logistic映射(map)，这里的“logistic”源于希腊文“logistikos”，与“逻辑”毫无关系(“逻辑”在希腊文是“logike”)，意为“工于计算”，此处计算的是生命繁衍的规律.本世纪50年代就有好几位生态学家注意研究这一方程.而因研究该方程对“混沌”理论的发展起了特别作用的，是一位澳大利亚人梅(Robert May).70年代初，他在哈佛大学攻读应用数学，本想接着去普林斯顿高级研究院，却偶然地到了普林斯顿大学生物系从事生命科学研究了，成为生物学界鲜见的精通数学的人.他对于稳定性与复杂性这类抽象问题有浓厚兴趣，正是他，向人们展示了logistic映射是一个多么值得仔细研究的差分方程.应该一提的是，罗伦兹先于梅也认真研究过这一方程，1964年他在瑞典《地球》杂志上发表了题为《由支配方程导出天气的问题》的文章，但并未引起人们的注意.
　　让我们来看式(7).当给定一个初始值x₀后，人人都可以用一只计算器来进行迭代计算.这比起解罗伦兹方程组，也比解阻尼摆强迫振动的微分方程简单得多，但如果真的继续下去，由于非线性项的存在，竟会出现迷人的复杂性，为直观，我们采用图解法.
　　图8中的抛物线代表式(7)中右端的迭代函数，对角线代表x_n+1=x_n.给定一初值x₀，作竖直线，遇抛物线于高度x₁，然后从交点作水平线，便将此高度平移到了对角线上，再由此作竖直线，遇抛物线于高度x₂，…，如此等等，反复迭代下去.

图8　方程(7)的图解法

　　从任何初始值出发，迭代时，一般总有一个暂态过程，这不是我们关心的，我们只关心迭代所趋向的最后结果.取μ＜3，迭代总是趋于一个稳定的不动点，即方程式(7)有定态解，示于图9.假定第n次迭代结果是这不动点x^*,那么用它作下一次迭代，就仍得x^*，即：

x^*=μx^*(1-x^*)

可解得：　　　　　　　　　　　　　　　　x^*=1-

图9　方式(7)的定态解　　　图10　定态解与μ的关系

当μ＞3时，不动点的解失稳.例如μ=3.1时，迭代将趋于一对稳定不动点x^*₁和x^*₂，见图11，有：

x^*₂=3.1x^*₁(1-x^*₁)
x^*₁=3.1x^*₂(1-x^*₂)

x^*₁，则明夏便是x^*₂，次年夏又是x^*₁，…，如此轮回，称式(7)有稳定的两点周期解，示于图11.

图11　两点周期解

　　若进一步增加μ值，至μ=3.449，两点周期解也失稳，各自又分裂出一对新的不动点，形成稳定的四点周期振荡解.随着μ的增大，在μ=3.544、3.564、…，可依次形成周期8、周期16、…的振荡解，这种现象又是分频，正如我们在单摆运动中看到的那样，这也叫做“倍周期分岔”，分岔图如图12所示.

图12　logistic映射的倍周期分岔序列示意图

　　当μ达到极限值μ_∞=3.569 945 6…时，系统的解是周期为2^∞的解，即是一个非周期解.从μ_∞至μ=4，体系基本处于混沌区，一方面，每有x_n就有唯一的x_n+1，所以仍是确定论的；另一方面，稍稍变动一下初始值，迭代多次所得的结果之间就会相差很大，在计算机上，看来相同的初始值却会得出不同的长期效果，这又表现出对初始值的敏感性，或者“蝴蝶效应”.另外，在混沌区内，又不是绝对地无序，情况其实十分多采.原来，在混沌区中又有无穷多个倍周期分岔系列.从图13可见，混沌区内是有精细结构的，值得注意的是，在μ=1+8=3.828 427时，出现一个周期3的解.

图13　混沌区内的精细结构

　　本文一开头提到过李天岩和约克发表了“周期3意味着混沌”的文章.此文从内容到它的发表都与logistic映射有密切关系.1974年我们前边提到过的梅(May)去李天岩和约克所在的马里兰大学数学系参加“生物数学年”的活动，他的演讲正是关于logistic映射的.随后，约克送梅赶乘飞机返回普林斯顿，途中把自己和李天岩在1973年写好的文章给他看.梅为之一震，认为该文很大程度上解释了他对logistic映射尚存的疑问.这种反应大大鼓舞了约克和李天岩，改写了原稿，便成就了上述著名文章.
　　周期3确实非常奇特，早在1964年，苏联的数学家萨尔可夫斯基(A.N.Sharkovskii)把所有自然数按一定规律(并不是按大小)予以排列，“3”是这序列中打头的一个.设有整数p,而q是在上述序列中任何一个排在p之后的整数，则可证明：若在某个一维映射中有周期p的相轨道，那么各种周期q的相轨道也都存在.在李天岩和约克的文章中所提出的李-约克定理，正是令p=3，并进一步指出了：在任何一个一维系统中只要有周期3轨道，就必定出现含有无穷多个不稳定周期轨道的混沌运动.在放大的logistic映射的分岔图中，确实可以看到周期3以及其它周期的解还要分岔，出现周期6、12、24、…或周期7、14、28、…的解，等等，再进入混沌区.
　　为了揭示logistic映射的全局复杂性，纽约大学库朗数学研究所的荷彭斯蒂埃特(Frank Hoppensteadt)把该映射的参数调整了上千次，在计算机的显示屏上看到了倍分岔、混沌、以及混沌中的有序窗口，并把这拍成电影.梅看过这电影后，也开始收集在流行病、遗传学、经济学、流体动力学等领域中的类比事件，同时成为一位混沌理论的热心传播者.
　　还是发端于logistic映射，美国青年物理学家费根包姆(M.Feigenbaum)发现了有关倍周期分岔的普适性质.费根包姆25岁时在MIT获物理学博士学位，1974年来到洛斯*阿拉姆斯国家实验室工作.他有很好的知识背景，却超脱一般人的生活追求.60年代威尔逊的重整化理论使他知道标度变换是多么重要.当他开始思考非线性问题时，意识到并无现成的通用方法，于是他决定象梅那样从简单的logistic映射开始.1975年夏天在科罗拉多山村小镇阿斯本他听到我们在前面提到“研究振子”的斯梅尔的报告，讲到这个映射奥妙的数学性质，这给费根包姆很大的鼓舞，他开始把解析方法与计算器上的数值计算结合在一起仔细研究起来.正因为用的是计算器，他必须手记下每一个倍周期分岔处的精确值，这就吸引他去注意猜测下一次倍周期分岔对应的参数会是多少.忽然他发现，若用μ_n代表第n次分岔处的参数值，则在分岔图的μ轴上相继发生分岔处的间隔之比趋于一常数：

x_n+1=rsin πx_n的倍周期，竟得到同样的规律，再研究其它几个非线性函数，竟都得到4.669.他马上不满足计算器的精度了，于是急忙在一天内学会使用计算机，转天就得到：

δ=4.669 201 609 1…

　　后来，人们称此δ为费根包姆第一常数.进而，费根包姆意识到μ₁、μ₂、…、μ_n、…以几何级数方式的收敛意味着有标度变换规律，于是，他采用重整化群的技巧，于1976年创立了混沌的普适理论，但这一突破到1978年才获正式发表，而普适性的严格数学证明是由兰福德(Oscar E.Lanford)完成的.简单的logistic差分方程竟包含如此之多的学问，难怪梅呼吁要每个中学生都知道这个方程.
　　注　罗伦兹学术报告的题目是：“Predictability:Does the Flap of a Butterfiy's Wings in Brazil set off a Tornado in Taxas?”